Расстояния на земном шаре и плоской Земле

Оригинал: walter.bislins.ch/bloge/index.asp?page=Distances+on+Globe+and+Flat+Earth

Плоская Земля и Земля-шар — две модели Земли, сильно различающиеся по геометрии. Чтобы решить, какая модель соответствует реальности, мы можем вычислить кратчайшее расстояние между двумя точками для обеих моделей и проверить, какое расстояние соответствует реальности.

Я вывожу формулы для расчета расстояния между двумя точками для обеих моделей. Расчеты можно проводить с помощью расчетной формы. Затем на основе примера решается, какая модель соответствует реальности.[

Форма расчета

Вы можете ввести широту/долготу в градусах с десятичной точкой (например, 54,5° ) или в градусах, минутах и секундах (например, 54° 30 мин ). Широта южного полушария и долгота к западу от нулевого меридиана должны быть введены как отрицательные значения. Некоторые примеры ввода см. в разделе «Формат ввода широты и долготы».

Perth-Sydney Johannesburg-Perth London-Moskau

Расстояние между двумя точками P1 и P2 вычисляется на земном шаре с радиусом R и на плоской Земле с расстоянием от северного полюса до экватора EQ. Если вы хотите использовать другие размеры планет, введите значения в соответствующие поля или оставьте их как есть. Вы можете сбросить поля до значений по умолчанию, щелкнув поля и нажав клавишу ESC.

Вы можете выбрать единицы измерения расстояний: км, морские мили (нми) или статутные мили (мили).

Формат ввода широты и долготы

Три поля широты и долготы принимают все распространенные форматы ввода. Вы можете ввести широту или долготу, используя только поле градусов при вводе любого общепринятого формата, или ввести их в градусах, минутах и секундах в соответствующих полях. Вы можете установить N,S,E или W до или после числа в поле градусов или использовать отрицательные числа для S и W.

Все в градусах: 51,507351° | 120 58 57 Вт | 120°58’57» з.д. | W69 01 29,74 | 41 25 с.ш. | N41 25,117 | 32 ю.ш.: Введите значение в поле «Градус» и оставьте в полях «Минуты» и «Секунды» значение 0.

Градусы и минуты: 51° 30,44106 мин.: Введите целые градусы в поле «Градусы» и минуты в поле «Минуты», а в поле «Секунды» оставьте значение 0.

Градусы, минуты и секунды: 51° 30 мин 26,4636 сек: Введите каждую часть в соответствующее поле.

Если у вас отрицательная широта или долгота с нулевыми градусами, введите 0 для градусов и отрицательную минуту: 0° −7 мин 39,929 сек. Если «Градус» и «Минута» равны нулю, введите отрицательный знак в поле «Секунды»: 0° 0 мин −12,34 сек.

Используйте кнопку →DMS для преобразования формата «градусы» в «формат градусы-минуты-секунды». Используйте кнопку → Дег для преобразования формата «градусы-минуты-секунды» в формат «градусы-минуты». Это полезно для копирования позиции в Google Earth как одно значение.

Какая модель соответствует реальности?

Плоская Земля и Земля-шар — две модели Земли, сильно различающиеся по геометрии. Предположим, мы еще не знаем правильную форму. В обеих моделях существует способ определения кратчайшего расстояния между двумя точками. В обеих моделях точка определяется степенью широты и долготы. Точка с одинаковой широтой и долготой в обеих моделях соответствует одному и тому же местоположению, например определенному городу. Для обеих моделей мы можем вывести формулу для расчета расстояний. Таким образом, мы можем сделать соответствующий прогноз для обеих моделей. Чтобы решить, какая модель является правильной, мы можем вычислить кратчайшее расстояние между одними и теми же двумя точками для обеих моделей и проверить, какой прогноз соответствует реальности. Если мы найдем две точки, которые дают совершенно разные прогнозы для двух моделей, будет легко определить правильную модель.

На земном шаре кратчайшее расстояние — это так называемое расстояние Большого круга, на плоской Земле — прямая линия.

Реальное расстояние должно быть получено экспериментальным путем, то есть измерением реального мира, а не путем указаний расстояний на картах, поскольку из этого расстояния должна быть выведена правильная модель. Мы можем получить реальное расстояние между двумя местами, измерив время полета прямого рейса между двумя местами и умножив его на среднюю скорость полета. Время и скорость коммерческого самолета на достаточно большом расстоянии дают хорошую оценку реального расстояния.

Чтобы получить четкий результат, мы используем максимально разные расстояния в обеих моделях для одних и тех же двух мест. В основном это расстояния в южном полушарии.

Я выбираю расстояние между Пертом и Сиднеем, Австралия. Поскольку они расположены на одном континенте, это расстояние также можно преодолеть, проехав на машине между этими городами. Для обеих моделей используется следующий набор данных:

Набор данных
Перт (PER)	Широта = -31,950527, Долгота = 115,860457.
Сидней (SYD)	Широта = -33,868820, Долгота = 151,209296.
Время полета SYD/PER T _SP	5 часов 05 минут = 5,08 часа, с сайта expedia.com для Qantas A330-200.
Время полета PER/SYD T _PS	4 часа 10 минут = 4,17 часа, с сайта expedia.com для Qantas A330-200.
Путевая скорость SYD/PER V _SP	427 узлов = 791 км/ч, с сайта Flightradar24.com для А330-200.
Путевая скорость PER/SYD V _PS	535 узлов = 991 км/ч, с сайта Flightradar24.com для А330-200.
Такси-Тайм Т _Такси	20 минут = 0,33 часа, с сайта www.rita.dot.gov, Министерство транспорта США.
Время удержания T _Hold	10 мин = 0,17 ч, резервное время для удержания шаблонов и векторов
Такси+Задержать T _TH	30 минут = 0,5 часа
Время набора высоты/спуска T _CD	43 % · 1,5 часа = 0,645 часа, с сайта www.cfidarren.com, Статистическая сводка происшествий с коммерческими реактивными самолетами.

Набор данных

Перт (PER)

Широта = -31,950527, Долгота = 115,860457.

Сидней (SYD)

Широта = -33,868820, Долгота = 151,209296.

Время полета SYD/PER T _SP

5 часов 05 минут = 5,08 часа, с сайта expedia.com для Qantas A330-200.

Время полета PER/SYD T _PS

4 часа 10 минут = 4,17 часа, с сайта expedia.com для Qantas A330-200.

Путевая скорость SYD/PER V _SP

427 узлов = 791 км/ч, с сайта Flightradar24.com для А330-200.

Путевая скорость PER/SYD V _PS

535 узлов = 991 км/ч, с сайта Flightradar24.com для А330-200.

Такси-Тайм Т _Такси

20 минут = 0,33 часа, с сайта www.rita.dot.gov, Министерство транспорта США.

Время удержания T _Hold

10 мин = 0,17 ч, резервное время для удержания шаблонов и векторов

Такси+Задержать T _TH

30 минут = 0,5 часа

Время набора высоты/спуска T _CD

43 % · 1,5 часа = 0,645 часа, с сайта www.cfidarren.com, Статистическая сводка происшествий с коммерческими реактивными самолетами.

Посмотрите, как преобразуются скорости.

Время руления и ожидания необходимо вычесть из времени полета, чтобы получить время, соответствующее пройденному расстоянию. Во время подъема и спуска скорость увеличивается/уменьшается. Поэтому я беру среднюю скорость за этот период. Это половина крейсерской скорости. Время набора высоты/спуска одинаково для всех полетов, его можно посмотреть здесь (en) значение 43 % · 1,5 часа = 0,645 часа, что соответствует моему опыту работы со временем на симуляторе полета.

Тогда формула для расчета пройденного расстояния будет выглядеть следующим образом:

(1)

$L = T_\mathrm{CD} \cdot 0{.}5 \cdot V + (T - T_\mathrm{TH} - T_\mathrm{CD}) \cdot V$

^где^‘

$L$ ^‘	=^‘	^‘ Пройденное расстояние
$T$ ^‘	=^‘	^‘ Общее время в пути
$T_\mathrm{CD}$ ^‘	=^‘	^‘ Набор высоты + время спуска
$T_\mathrm{TH}$ ^‘	=^‘	^‘ Такси + Время ожидания
$V$ ^‘	=^‘	^‘ Крейсерская путевая скорость

Давайте вычислим расстояние от Сиднея до Перта:

(2)

$L_\mathrm{SP} = 0{.}645\ \mathrm{h} \cdot 0{.}5 \cdot 791\ \mathrm{km}/\mathrm{h} + ( 5{.}08\ \mathrm{h} - 0{.}5\ \mathrm{h} - 0{.}645\ \mathrm{h} ) \cdot 791\ \mathrm{km}/\mathrm{h} = 3368\ \mathrm{km}$

Теперь давайте посчитаем расстояние от Перта до Сиднея:

(3)

$L_\mathrm{PS} = 0{.}645\ \mathrm{h} \cdot 0{.}5 \cdot 991\ \mathrm{km}/\mathrm{h} + ( 4{.}17\ \mathrm{h} - 0{.}5\ \mathrm{h} - 0{.}645\ \mathrm{h} ) \cdot 991\ \mathrm{km}/\mathrm{h} = 3317\ \mathrm{km}$

Разница составляет около 1,5 %. Реальное расстояние на несколько километров короче, поскольку аэропорты не совмещены с траекторией полета, поэтому самолет после старта и перед посадкой отклоняется от прямого маршрута на несколько километров.

Результат

Кратчайшие расстояния, рассчитанные между Пертом и Сиднеем для двух моделей в соответствии с формой расчета, составляют:

Модель Земли Глобус	Модель плоской Земли	Расстояние полета SYD/PER	Расстояние полета PER/SYD
3291 км	8301 км	3368 км (2)	3317 км (3)

Модель Земли Глобус

Модель плоской Земли

Расстояние полета SYD/PER

Расстояние полета PER/SYD

3291 км

8301 км

3368 км (2)

3317 км (3)

Результат, без сомнения, соответствует модели глобуса Земли.
Модель плоской Земли ошибочна в 2,5 раза!

Проверьте это сами

Карты Google показывают расстояние от Перфа до Сиднея по дороге длиной 3934 км. Вы можете проехать по этому маршруту на своем автомобиле и проверить расстояние по одометру вашего автомобиля. Расстояние намного короче, чем предсказывает модель Плоской Земли.

Маршрут Перт-Сидней на Google Maps

Чтобы проверить правильность широты и долготы на этой странице, вы можете купить дешевый секстант, например, на Amazon, и самостоятельно измерить координаты, используя технику небесной навигации.

Подводные кабели

Некоторые сторонники плоской Земли утверждают, что подводные кабели каким-то образом доказывают, что Земля плоская. Но если присмотреться, они доказывают, что Земля вообще не может быть плоской, наоборот:

На веб-сайте «Карта подводных кабелей» вы можете увидеть все кабели и получить информацию о них. Например, длина кабеля между Сиднеем и Пертом составляет 4850 км:

РФС

1 квартал 2019 г.

Длина кабеля

4850 км

Владельцы

Superloop, SingTel, Google, Indosat Ooredoo, Австралийская академическая и исследовательская сеть (AARNET)

URL

http://www.subpartners.net/indigo

Кабель идет не по самой короткой линии между этими городами ( 3290 км ), поскольку ему приходится идти вдоль береговой линии. Значит, его длина составляет 4850 км . Самая короткая линия на карте плоской Земли составляет 8300 км между Сиднеем и Пертом. Таким образом, даже самое короткое соединение на плоской земле в 1,7 раза длиннее, чем кабель, идущий по береговой линии.

Используемые формулы для глобуса Земли

Примечание. Чтобы доказать, что в расчетах используются следующие формулы, вы можете проверить исходный код этой страницы.

На земном шаре кратчайшее расстояние между двумя точками — это большой круг.

Точки указаны в полярных координатах широты. $\varphi$ и долгота $\lambda$ :

(4)

$P_1 = ( \varphi_{1,deg}, \lambda_{1,deg} )$

(5)

$P_2 = ( \varphi_{2,deg}, \lambda_{2,deg} )$

где^‘

$\varphi_{i,deg}$ ^‘	=^‘	^‘Широта в градусах северной широты. Отрицательные значения для Юга.
$\lambda_{i,deg}$ ^‘	=^‘	^‘Долгота в градусах восточной долготы. Негативные значения для Запада.

Преобразование в декартов векторный формат с использованием центра сферы как ( 0, 0, 0 ):

(6)

$\vec P_1 = R \cdot \hat v_1$

(7)

$\vec P_2 = R \cdot \hat v_2$

ширина

$| \hat v_1 | = | \hat v_2 | = 1$

где^‘

$\hat v_i$ ^‘	=^‘	^‘Единичный вектор от центра сферы до точки $P_i$
$\| \hat v_i \|$ ^‘	=^‘	^‘Длина вектора $\hat v_i$
$R$ ^‘	=^‘	^‘Радиус сферы

Единичные векторы для двух точек:

(8)

$\hat v_1 = \left[ \matrix{ v_{ 1,x } \\ v_{ 1,y } \\ v_{ 1,z } } \right] = \left[ \matrix{ \cos\left( \lambda_1 \right) \cdot \cos\left( \varphi_1 \right) \\ \sin\left( \lambda_1 \right) \cdot \cos\left( \varphi_1 \right) \\ \sin\left( \varphi_1 \right) } \right]$

(9)

$\hat v_2 = \left[ \matrix{ v_{ 2,x } \\ v_{ 2,y } \\ v_{ 2,z } } \right] = \left[ \matrix{ \cos\left( \lambda_2 \right) \cdot \cos\left( \varphi_2 \right) \\ \sin\left( \lambda_2 \right) \cdot \cos\left( \varphi_2 \right) \\ \sin\left( \varphi_2 \right) } \right]$

^где^‘

$\hat v_i$ ^‘	=^‘	^‘Единичный вектор от центра сферы до точки $P_i$
$\varphi_i$ ^‘	=^‘	^‘ $\mathrm{rad}(\varphi_{i,deg})$ = Широта в радианах. Отрицательные значения для Юга.
$\lambda_i$ ^‘	=^‘	Долгота в радианах Востока. Негативные значения для Запада.

Косинус угла $\alpha$ между векторами:

(10)	$\cos\left( \alpha \right) = \hat v_1 \cdot \hat v_2 = \left[ \matrix{ v_{ 1,x } \\ v_{ 1,y } \\ v_{ 1,z } } \right] \cdot \left[ \matrix{ v_{ 2,x } \\ v_{ 2,y } \\ v_{ 2,z } } \right] = v_{ 1,x } \cdot v_{ 2,x } + v_{ 1,y } \cdot v_{ 2,y } + v_{ 1,z } \cdot v_{ 2,z }$

И большое расстояние круга $L$ между точками:

(11)

$L = R \cdot \alpha = R \cdot \arccos \, \left( v_{ 1,x } \cdot v_{ 2,x } + v_{ 1,y } \cdot v_{ 2,y } + v_{ 1,z } \cdot v_{ 2,z } \right)$

где^‘

$L$ ^‘	=^‘	^‘Большое круговое расстояние между $P_1$ и $P_2$
$R$ ^‘	=^‘	^‘Радиус сферы (земли)
$v_{1,x}$ ^‘	=^‘	^‘X-компонент единичного вектора $\hat v_1$ из центра в $P_1$
$v_{2,x}$ ^‘	=^‘	^‘X-компонент единичного вектора $\hat v_2$ из центра в $P_2$

Выразив это одним уравнением, получим:

(12)

$L = R \cdot \mathrm{acos} \left\{ \left[ \cos\left( \lambda_{ 1 } \right) \cdot \cos\left( \lambda_{ 2 } \right) + \sin\left( \lambda_{ 1 } \right) \cdot \sin\left( \lambda_{ 2 } \right) \right] \cdot \cos\left( \varphi_{ 1 } \right) \cdot \cos\left( \varphi_{ 2 } \right) + \sin\left( \varphi_{ 1 } \right) \cdot \sin\left( \varphi_{ 2 } \right) \right\}$

где^‘

$L$ ^‘	=^‘	^‘Большое круговое расстояние между $P_1$ и $P_2$
$R$ ^‘	=^‘	^‘Радиус сферы (земли)
$\varphi_i$ ^‘	=^‘	^‘Широта в радианах севера. Отрицательные значения для Юга.
$\lambda_i$ ^‘	=^‘	^‘Долгота в радианах Востока. Негативные значения для Запада.

Если мы установим $\lambda_1 = 0$ и $\lambda = \lambda_2 - \lambda_1$ мы можем (12) еще больше упростить:

(13)

$L = R \cdot \mathrm{acos} \left\{ \cos\left( \varphi_{ 1 } \right) \cdot \cos\left( \varphi_{ 2 } \right) \cdot \cos\left( \lambda \right) + \sin\left( \varphi_{ 1 } \right) \cdot \sin\left( \varphi_{ 2 } \right) \right\}$

Используемые формулы для плоской Земли

Сначала я преобразую полярные координаты точек в декартовы координаты. Тогда точки представляют собой 2 вектора в декартовых координатах. Вычитание одного вектора из другого и вычисление длины полученного вектора дает расстояние между двумя точками на плоской земле, которое представляет собой прямую линию.

Длина r _i вектора i от северного полюса до точки P _i ( φ, λ ) равна:

(14)

$r_i = \left( 1 - { \varphi_i \over \pi / 2 } \right) \cdot E$

где^‘

$r_i$ ^‘	=^‘	^‘длина вектора от северного полюса до точки P_i
$\varphi_i$ ^‘	=^‘	^‘ $\mathrm{rad}(\varphi_{i,deg})$ = Широта в радианах. Отрицательные значения для Юга.
$E$ ^‘	=^‘	^‘10,008 км = Расстояние от северного полюса до экватора плоской Земли.

Объяснение

Если широта равна 0, то должно быть расстоянием экватора от северного полюса Если широта положительна, то должно уменьшиться на величину $(\varphi / 90°) \cdot E$ . Таким образом, если широта равна 90 °, величина уменьшения равна Δ r = ( 90 ° / 90 °) · E = E, т.е. на северном полюсе r = E − Δ r = 0. Соответственно, если широта отрицательна, расстояние от экватора должно увеличиться. Это дает уравнение для расстояния широты от северного полюса:

(15)	$r = E - ( \varphi / 90° ) \cdot E$

где широта $\varphi$ дается в градусах. После вычета E и если у нас есть широта, указанная в радианах, мы получаем формулу (14).

Зная длину вектора вместе с его долготой, можно вычислить декартовы координаты P_i:

(16)

$x_i = r_i \cdot \cos( \lambda_i )$

(17)

$y_i = r_i \cdot \sin( \lambda_i )$

где^‘

$x_i, y_i$ ^‘	=^‘	^‘декартовы координаты точки P_i
$\lambda_i$ ^‘	=^‘	^‘ $\mathrm{rad}(\lambda_{i,deg})$ = Долгота в радианах Востока. Негативные значения для Запада.

Расстояние между точками P₁ и P₂ составляет:

(18)	$L = \sqrt{ (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 }$

Выразив это одним уравнением, получим:

(19)

$L = \sqrt{ { \left[ r_1 \cdot \cos\left( \lambda_{ 1 } \right) - r_2 \cdot \cos\left( \lambda_{ 2 } \right) \right] }^2 + { \left[ r_1 \cdot \sin\left( \lambda_{ 1 } \right) - r_2 \cdot \sin\left( \lambda_{ 2 } \right) \right] }^2 }$

where^‘

$L$ ^‘	=^‘	^‘Кратчайшее расстояние между $P_1$ и $P_2$ (прямая линия)
$\varphi_i$ ^‘	=^‘	^‘Широта в радианах севера. Отрицательные значения для Юга.
$\lambda_i$ ^‘	=^‘	Долгота в радианах Востока. Негативные значения для Запада.

Если мы установим $\lambda_1 = 0$ и $\lambda = \lambda_2 - \lambda_1$ мы можем (19) еще упростить до:

(20)

$L = \sqrt{ { r_1 }^2 + { r_2 }^2 - 2 \cdot r_1 \cdot r_2 \cdot \cos\left( \lambda \right) }$

$r_1 = \left( 1 - { \varphi_1 \over \pi/2 } \right) \cdot E \qquad r_2 = \left( 1 - { \varphi_2 \over \pi/2 } \right) \cdot E \qquad \lambda = \lambda_2 - \lambda_1$

Примечание: это не что иное, как Закон косинусов для треугольника со сторонами r ₁, r ₂ и углом λ для неизвестной стороны L.

Космонавт Олег Артемьев

Записки космонавта

TikTok: tiktok.com/@olegmks

ВКонтакте: vk.com/olegmks

YouTube: youtube.com/c/OlegMKS

Яндекс.Дзен: zen.yandex.ru/olegmks

RuTube: rutube.ru/channel/23320330/

Расстояния на земном шаре и плоской Земле

Форма расчета

Формат ввода широты и долготы

Какая модель соответствует реальности?

Результат

Проверьте это сами

Подводные кабели

Используемые формулы для глобуса Земли

Используемые формулы для плоской Земли

Объяснение

Космонавт Олег Артемьев

Записки космонавта

TikTok: tiktok.com/@olegmks

ВКонтакте: vk.com/olegmks

YouTube: youtube.com/c/OlegMKS

Яндекс.Дзен: zen.yandex.ru/olegmks

RuTube: rutube.ru/channel/23320330/

Расстояния на земном шаре и плоской Земле

Форма расчета

Формат ввода широты и долготы

Какая модель соответствует реальности?

Результат

Проверьте это сами

Подводные кабели

Используемые формулы для глобуса Земли

Используемые формулы для плоской Земли

Объяснение

Похожие публикации: